Add exercise 4

Exercise 4/main.tex

@@ -0,0 +1,40 @@
+\documentclass{article}
+
+\input{../lib/lib.tex}
+
+\usepackage{amssymb}
+
+\begin{document}
+  
+  \thispagestyle{plain}
+  \tittel
+  \tableofcontents
+
+  \newpage
+
+  \section{Forberedende oppgaver}
+  \begin{oppgaver}
+    
+    \oppg
+    \input{tasks/1.tex}
+
+  \end{oppgaver}
+
+  \newpage
+
+  \section{Innleveringsoppgaver}
+  \begin{oppgaver}
+    \setoppg{1}
+
+    \oppg
+    \input{tasks/2.tex}
+
+    \oppg
+    \input{tasks/3.tex}
+
+    \oppg
+    \input{tasks/4.tex}
+    
+  \end{oppgaver}
+
+\end{document}

Exercise 4/tasks/1.tex

@@ -0,0 +1,37 @@
+\begin{deloppgaver}
+  \delo
+    \begin{align*}
+      a_n &= \frac{n}{n+1} \\[1ex]
+      a_1 &= \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \\[1ex]
+      a_2 &= \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3} \\[1ex]
+      a_3 &= \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4} \\[1ex]
+      a_4 &= \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5} \\[1ex]
+      a_{100} &= \frac{100}{100+1} = \frac{100}{101} \\[1ex]
+    \end{align*}
+
+    Jeg gjetter at \[\lim_{n \to \infty} a_n = 1\]
+
+  \delo
+    \begin{align*}
+      a_n &= \frac{n^2}{n+1} \\[1ex]
+      a_1 &= \frac{1^2}{1+1} = \frac{1}{2} \\[1ex]
+      a_2 &= \frac{2^2}{2+1} = \frac{4}{3} \\[1ex]
+      a_3 &= \frac{3^2}{3+1} = \frac{9}{4} \\[1ex]
+      a_4 &= \frac{4^2}{4+1} = \frac{16}{5} \\[1ex]
+      a_{100} &= \frac{100^2}{100+1} = \frac{10000}{101} \\[1ex]
+    \end{align*}
+
+    Jeg gjetter at \[\lim_{n \to \infty} a_n = \infty\]
+
+  \delo
+    \begin{align*}
+      a_n &= \frac{n}{n^2+1} \\[1ex]
+      a_1 &= \frac{1}{1^2+1} = \frac{1}{2} \\[1ex]
+      a_2 &= \frac{2}{2^2+1} = \frac{2}{5} \\[1ex]
+      a_3 &= \frac{3}{3^2+1} = \frac{3}{10} \\[1ex]
+      a_4 &= \frac{4}{4^2+1} = \frac{4}{17} \\[1ex]
+      a_{100} &= \frac{100}{100^2+1} = \frac{100}{10001} \\[1ex]
+    \end{align*}
+
+    Jeg gjetter at \[\lim_{n \to \infty} a_n = 0\]
+\end{deloppgaver}

Exercise 4/tasks/2.tex

@@ -0,0 +1,44 @@
+\begin{deloppgaver}
+  \delo
+    \[\frac{1}{x^2-4}\] er definert hvor
+
+    \begin{align*}
+      x^2-4 &\neq 0 \\
+      (x+2)(x-2) &\neq 0 \\
+      x &\notin \{-2, 2\}
+    \end{align*}
+
+    Som betyr at definisjonsmengden til uttrykket blir
+
+    \[ x \in \{ \mathbb{R}\ |\ x \neq \pm 2 \} \]
+  
+  \delo
+    \[g(x) = \sqrt{9 - |x-1|}\]
+
+    $\sqrt{a}$ er definert for $a \geq 0$. Vi subsituerer $a$.
+
+    \begin{align*}
+      9- |x-1| &\geq 0 \\
+      - |x-1| &\geq -9 \\
+      |x-1| &\leq 9 \\
+      -9 &\leq x-1\quad &&\vee &x-1 &\leq 9 \\
+      -8 &\leq x \quad &&\vee &x &\leq 10
+    \end{align*}
+
+    Altså blir definisjonsmengden
+
+    \[D_g = \left[ -8, 10\right]\]
+
+    Verdimengden til $\sqrt{a}$ er $\left[0, \infty\right)$, som betyr at den minste verdien til $g(x)$ må være $0$.
+
+    I tillegg vet vi at $|a|$ aldri kan bli mindre enn $0$.
+
+    Dermed vil den største verdien av $g(x)$ være når $|x-1| = 0$ hvor
+
+    \[g(x) = \sqrt{9-0} = \pm 3\]
+
+    Ettersom $-3$ ikke er en del av $\left[0, \infty\right)$ blir verdimengden
+
+    \[V_g = \left[0, 3\right]\]
+
+\end{deloppgaver}

Exercise 4/tasks/3.tex

@@ -0,0 +1,13 @@
+\[f(x) = \frac{10}{1+x^2}\]
+
+Ettersom $1+x^2$ ikke har noen reelle røtter, vil uttrykket være definert for $x \in \mathbb{R}$
+
+Den minste verdien av nevneren $1+x^2$ vil være når $x = 0$ hvor $1+x^2 = 1$.
+
+I dette tilfellet blir \[f(0) = \frac{10}{1+0^2} = 10\]
+
+\[\lim_{x \to \pm \infty} 1+x^2 = \pm \infty \Leftrightarrow \lim_{x \to \pm \infty}f(x) = 0\]
+
+Dermed blir verdimengden
+
+\[V_f = \left(0, 10\right]\]

Exercise 4/tasks/4.tex

@@ -0,0 +1,27 @@
+
+  $h(x)$ kan skrives som $sgn(x) \cdot x^2$ som videre kan forkortes til
+  \begin{align*}
+    h(x) &= \frac{|x|}{x} \cdot x^2 \\
+    h(x) &= |x|x
+  \end{align*}
+
+\begin{deloppgaver}
+  \delo
+    Ettersom verdimengden til $x^2$ originalt var $\left[0, \infty\right)$ men at vi flipper funksjonen hvor $x < 0$, så vil verdimengden til h bli
+    \begin{align*}
+      V_h &= \left(-\infty, 0 \right) \cup \left[0, \infty\right) \\
+      V_h &= \mathbb{R}
+    \end{align*}
+  
+  \delo
+    $h(x)$ er injektiv ettersom vi har vendt retningen på funksjonen akkurat ved det punktet som tidligere var ekstremalpunktet til $x^2$. Dermed har ikke funksjonen noe ekstremalpunkt lengre, og enhver $h$-verdi vil kun ha $1$ tilsvarende $x$-verdi. \newline
+
+    $h^{-1}(x)$ kan vi skrive som kvadratroten av $|x|$ (ettersom roten av negative tall er udefinert), justert ved 0 med $sgn(x)$. Altså
+
+    \[h^{-1}(x) = sgn(x) \cdot \sqrt{|x|}\]
+
+    eller
+
+    \[h^{-1}(x) = \frac{|x|\sqrt{|x|}}{x}\]
+    
+\end{deloppgaver}

lib/lib.tex

@@ -26,7 +26,7 @@
 \pgfplotsset{compat=newest}
 
 \author{Øystein Tveit}
-\title{MA0001 Øving 3}
+\title{MA0001 Øving 4}
 
 \input{../lib/titling.tex}