Add exercise 4

This commit is contained in:
Oystein Kristoffer Tveit 2020-09-20 17:22:55 +02:00
parent 7ffec7840f
commit c22cf7206e
7 changed files with 162 additions and 1 deletions

BIN
Exercise 4/main.pdf Normal file

Binary file not shown.

40
Exercise 4/main.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,40 @@
\documentclass{article}
\input{../lib/lib.tex}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\thispagestyle{plain}
\tittel
\tableofcontents
\newpage
\section{Forberedende oppgaver}
\begin{oppgaver}
\oppg
\input{tasks/1.tex}
\end{oppgaver}
\newpage
\section{Innleveringsoppgaver}
\begin{oppgaver}
\setoppg{1}
\oppg
\input{tasks/2.tex}
\oppg
\input{tasks/3.tex}
\oppg
\input{tasks/4.tex}
\end{oppgaver}
\end{document}

37
Exercise 4/tasks/1.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,37 @@
\begin{deloppgaver}
\delo
\begin{align*}
a_n &= \frac{n}{n+1} \\[1ex]
a_1 &= \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \\[1ex]
a_2 &= \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3} \\[1ex]
a_3 &= \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4} \\[1ex]
a_4 &= \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5} \\[1ex]
a_{100} &= \frac{100}{100+1} = \frac{100}{101} \\[1ex]
\end{align*}
Jeg gjetter at \[\lim_{n \to \infty} a_n = 1\]
\delo
\begin{align*}
a_n &= \frac{n^2}{n+1} \\[1ex]
a_1 &= \frac{1^2}{1+1} = \frac{1}{2} \\[1ex]
a_2 &= \frac{2^2}{2+1} = \frac{4}{3} \\[1ex]
a_3 &= \frac{3^2}{3+1} = \frac{9}{4} \\[1ex]
a_4 &= \frac{4^2}{4+1} = \frac{16}{5} \\[1ex]
a_{100} &= \frac{100^2}{100+1} = \frac{10000}{101} \\[1ex]
\end{align*}
Jeg gjetter at \[\lim_{n \to \infty} a_n = \infty\]
\delo
\begin{align*}
a_n &= \frac{n}{n^2+1} \\[1ex]
a_1 &= \frac{1}{1^2+1} = \frac{1}{2} \\[1ex]
a_2 &= \frac{2}{2^2+1} = \frac{2}{5} \\[1ex]
a_3 &= \frac{3}{3^2+1} = \frac{3}{10} \\[1ex]
a_4 &= \frac{4}{4^2+1} = \frac{4}{17} \\[1ex]
a_{100} &= \frac{100}{100^2+1} = \frac{100}{10001} \\[1ex]
\end{align*}
Jeg gjetter at \[\lim_{n \to \infty} a_n = 0\]
\end{deloppgaver}

44
Exercise 4/tasks/2.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,44 @@
\begin{deloppgaver}
\delo
\[\frac{1}{x^2-4}\] er definert hvor
\begin{align*}
x^2-4 &\neq 0 \\
(x+2)(x-2) &\neq 0 \\
x &\notin \{-2, 2\}
\end{align*}
Som betyr at definisjonsmengden til uttrykket blir
\[ x \in \{ \mathbb{R}\ |\ x \neq \pm 2 \} \]
\delo
\[g(x) = \sqrt{9 - |x-1|}\]
$\sqrt{a}$ er definert for $a \geq 0$. Vi subsituerer $a$.
\begin{align*}
9- |x-1| &\geq 0 \\
- |x-1| &\geq -9 \\
|x-1| &\leq 9 \\
-9 &\leq x-1\quad &&\vee &x-1 &\leq 9 \\
-8 &\leq x \quad &&\vee &x &\leq 10
\end{align*}
Altså blir definisjonsmengden
\[D_g = \left[ -8, 10\right]\]
Verdimengden til $\sqrt{a}$ er $\left[0, \infty\right)$, som betyr at den minste verdien til $g(x)$ må være $0$.
I tillegg vet vi at $|a|$ aldri kan bli mindre enn $0$.
Dermed vil den største verdien av $g(x)$ være når $|x-1| = 0$ hvor
\[g(x) = \sqrt{9-0} = \pm 3\]
Ettersom $-3$ ikke er en del av $\left[0, \infty\right)$ blir verdimengden
\[V_g = \left[0, 3\right]\]
\end{deloppgaver}

13
Exercise 4/tasks/3.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,13 @@
\[f(x) = \frac{10}{1+x^2}\]
Ettersom $1+x^2$ ikke har noen reelle røtter, vil uttrykket være definert for $x \in \mathbb{R}$
Den minste verdien av nevneren $1+x^2$ vil være når $x = 0$ hvor $1+x^2 = 1$.
I dette tilfellet blir \[f(0) = \frac{10}{1+0^2} = 10\]
\[\lim_{x \to \pm \infty} 1+x^2 = \pm \infty \Leftrightarrow \lim_{x \to \pm \infty}f(x) = 0\]
Dermed blir verdimengden
\[V_f = \left(0, 10\right]\]

27
Exercise 4/tasks/4.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,27 @@
$h(x)$ kan skrives som $sgn(x) \cdot x^2$ som videre kan forkortes til
\begin{align*}
h(x) &= \frac{|x|}{x} \cdot x^2 \\
h(x) &= |x|x
\end{align*}
\begin{deloppgaver}
\delo
Ettersom verdimengden til $x^2$ originalt var $\left[0, \infty\right)$ men at vi flipper funksjonen hvor $x < 0$, så vil verdimengden til h bli
\begin{align*}
V_h &= \left(-\infty, 0 \right) \cup \left[0, \infty\right) \\
V_h &= \mathbb{R}
\end{align*}
\delo
$h(x)$ er injektiv ettersom vi har vendt retningen på funksjonen akkurat ved det punktet som tidligere var ekstremalpunktet til $x^2$. Dermed har ikke funksjonen noe ekstremalpunkt lengre, og enhver $h$-verdi vil kun ha $1$ tilsvarende $x$-verdi. \newline
$h^{-1}(x)$ kan vi skrive som kvadratroten av $|x|$ (ettersom roten av negative tall er udefinert), justert ved 0 med $sgn(x)$. Altså
\[h^{-1}(x) = sgn(x) \cdot \sqrt{|x|}\]
eller
\[h^{-1}(x) = \frac{|x|\sqrt{|x|}}{x}\]
\end{deloppgaver}

View File

@ -26,7 +26,7 @@
\pgfplotsset{compat=newest}
\author{Øystein Tveit}
\title{MA0001 Øving 3}
\title{MA0001 Øving 4}
\input{../lib/titling.tex}