MA0001/Exercise 4/tasks/2.tex

44 lines
1.1 KiB
TeX
Raw Normal View History

2020-09-20 17:22:55 +02:00
\begin{deloppgaver}
\delo
\[\frac{1}{x^2-4}\] er definert hvor
\begin{align*}
x^2-4 &\neq 0 \\
(x+2)(x-2) &\neq 0 \\
x &\notin \{-2, 2\}
\end{align*}
Som betyr at definisjonsmengden til uttrykket blir
\[ x \in \{ \mathbb{R}\ |\ x \neq \pm 2 \} \]
\delo
\[g(x) = \sqrt{9 - |x-1|}\]
$\sqrt{a}$ er definert for $a \geq 0$. Vi subsituerer $a$.
\begin{align*}
9- |x-1| &\geq 0 \\
- |x-1| &\geq -9 \\
|x-1| &\leq 9 \\
-9 &\leq x-1\quad &&\vee &x-1 &\leq 9 \\
-8 &\leq x \quad &&\vee &x &\leq 10
\end{align*}
Altså blir definisjonsmengden
\[D_g = \left[ -8, 10\right]\]
Verdimengden til $\sqrt{a}$ er $\left[0, \infty\right)$, som betyr at den minste verdien til $g(x)$ må være $0$.
I tillegg vet vi at $|a|$ aldri kan bli mindre enn $0$.
Dermed vil den største verdien av $g(x)$ være når $|x-1| = 0$ hvor
\[g(x) = \sqrt{9-0} = \pm 3\]
Ettersom $-3$ ikke er en del av $\left[0, \infty\right)$ blir verdimengden
\[V_g = \left[0, 3\right]\]
\end{deloppgaver}